Pourquoi la martingale échoue : les maths du doublement après une perte

La martingale repose sur l'idée qu'on ne peut jamais perdre si l'on double sa mise après chaque perte, puisque le premier gain récupère tout, plus un petit bénéfice. Cela paraît imparable, et sur le papier ça fonctionne à chaque tour, sauf à celui qui compte : la longue série perdante qui finit toujours par arriver et réclame une mise que vous ne pouvez pas placer. Avec des rendements inférieurs à 100 %, le système est même pire que sa version classique de casino, car doubler ne suffit même pas pour revenir à l'équilibre.

Le système en un paragraphe

Commencez avec une mise de base, disons 10 $. Si le trade gagne, encaissez le bénéfice et recommencez à 10 $. S'il perd, doublez : 20 $. Nouvelle perte : 40 $, puis 80 $, et ainsi de suite. Quand un gain finit par arriver, il est censé couvrir toutes les pertes précédentes et vous laisser le petit bénéfice initial. Le système vient du jeu, bien avant le trading électronique ; voir l'entrée martingale du glossaire pour une définition courte.

Problème n° 1 : les séries perdantes sont plus longues que vous ne le pensez

Supposons, généreusement, une chance de 50/50 par trade, sans tenir compte des égalités. La probabilité qu'une séquence donnée de trades perde n fois d'affilée est de 0,5 puissance n. Cela paraît minuscule. Mais vous ne tradez pas une seule fois ; vous tradez des centaines de fois, et chaque trade peut déclencher une série.

Ce sont des probabilités calculées pour un processus à 50/50, pas des statistiques observées. Regardez la colonne des 500 trades : un trader actif sur expirations courtes peut atteindre 500 trades en quelques semaines, et à ce stade une série de huit pertes est plus probable qu'improbable. Si votre taux de réussite est inférieur à 50 %, les séries arrivent encore plus tôt.

Problème n° 2 : avec un rendement inférieur à 100 %, doubler ne récupère pas

Dans la version casino, un pari à cote égale rapporte 100 %, donc doubler récupère vos pertes plus une unité de base. Ici, le rendement est inférieur à 100 %. Regardez le doublement pur avec une base de 1 $ à 80 % de rendement, quand le gain arrive enfin au trade n :

Après trois pertes, un gain avec une mise doublée vous laisse encore dans le rouge. Le doublement simple cesse alors complètement d'être un système de récupération.

Pour réellement récupérer toutes les pertes plus le bénéfice initial avec un rendement p, chaque mise doit être multipliée non pas par 2, mais par (1 + p) / p. À 80 % de rendement, cela fait 2,25. Avec une base de 10 $ :

Chacune de ces lignes, si le trade suivant gagne, vous rapporte exactement 8 $, le bénéfice de votre premier trade de 10 $. Après neuf pertes, vous placez 6 568 $ pour gagner 8 $.

Problème n° 3 : le mur au bout du tableau

Toute progression finit par buter sur une limite : votre solde, ou la mise maximale de la plateforme. Sur Sky Trade, la mise maximale par défaut par trade est de $50,000. Dans le tableau ci-dessus, la douzième mise serait d'environ 74 818 $, ce qui n'est pas autorisé. À ce stade, vous auriez déjà perdu 59 846 $ sur onze trades. La plupart des gens atteignent la limite de leur solde bien avant : quelqu'un qui a 1 000 $ et perd cinq fois d'affilée n'a plus que 546,68 $ et ne peut pas placer la sixième mise de 576,65 $.

La martingale convertit donc beaucoup de petits gains en une perte rare mais énorme. Voici l'échange qu'elle propose, en chiffres ronds : sur la durée, vous empochez une longue suite de gains de 8 $, puis vous en rendez des centaines ou des milliers en une seule série.

Problème n° 4 : elle ne change pas l'espérance

Les progressions de mise réorganisent les pertes dans le temps ; elles ne peuvent pas rendre positive une espérance négative. Si chaque trade à 80 % de rendement et 50 % de gains vaut −10 % de sa mise, alors une mise de 10 000 $ en fin de série vaut −1 000 $ en moyenne, exactement comme n'importe quel autre trade. La martingale vous fait placer les plus gros montants sur des trades qui ne sont pas meilleurs que les autres, ce qui explique pourquoi le risque de ruine grimpe si vite.

Sur les instruments OTC de Sky Trade, ce n'est même pas discutable : le modèle de prix est lui-même une martingale mathématique avec un sens à 50/50, il n'y a donc rien qu'une progression puisse exploiter. Une série de pertes ne rend pas le trade suivant plus susceptible de gagner ; croire le contraire, c'est le sophisme du joueur, traité dans la psychologie du trading.

Conclusion

La martingale n'échoue pas parce que les traders l'appliquent mal ; elle échoue parce que l'arithmétique ne fonctionne pas. Des séries assez longues pour la casser sont banales sur des centaines de trades, des rendements inférieurs à 100 % exigent plus qu'un doublement, les limites de mise et de solde coupent la progression, et l'espérance par trade ne change pas. Une mise en pourcentage fixe, décrite dans le risque par trade, résout le problème que la martingale prétend résoudre : survivre à la série. Pour voir ce qu'une série fait à un solde, lisez drawdown et récupération.